Cette page contient les bases du programme sur les lois de probabilité

Lois discrètes (1re)

  • On parle de loi discrète si l'ensemble des valeurs possibles est fini (il y a "n" valeurs possibles).
  • l'espérance est la moyenne : \( E(x) = \Sigma_i p_i x_i \)
  • la variance est la moyenne quadratique par rapport à la moyenne : \( V(x) = \Sigma_i p_i(x_i-E)^2 \)
  • l'écart-type est la racine de la variance
  • On parle d'épreuve de Bernoulli s'il n'y a que deux valeurs (de probabilité p et 1-p)
  • On parle de loi binômiale si on répète plusieurs épreuves de Bernoulli (comme un tirage au sort), la valeur observée étant le nombre de tirages donnant l'une des valeurs.

    On démontre que la probabilité d'obtenir la valeur k est : \( P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^k \)

    les coefficients binômiaux vérifient : \(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix}\)

    L'espérance est \( E(X) = np \)

    La variance est \( V(x) = np(1-p) \)

Loi à densité

On étudie ici des loi de probabilités sur un intervalle [a,b] (a et b peuvent être infinis)

Bien évidemment, on ne parle plus de probabilité de prendre une valeur de manière exacte mais avec une marge d'erreur. Pour plus de facilité, on définit une densité de probabilité qu'il suffit d'intégrer entre deux valeurs

  • f est une densité de probabilité si elle est positive et si son intégrale vaut 1.

 

La loi de probabilité la plus simple est la loi uniforme : sur [a,b] sa densité de proba vaut 1/(b-a).

  • loi exponentielle (série S) : sa densité est f(s) = λ e-λ s. Son espérance est 1/λ
  • loi normale centrée réduite : sa densité est \( f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}} \)
    (espérance 0, écart-type 1)
  • loi normale N : X suit la loi \( \mathcal{N}(\mu,\sigma^2 ) \) si \( \frac{X-\mu}{\sigma} \) suit la loi normale centrée réduite \( \mathcal{N}(0,1) \)

 

En savoir plus

Théorème de Moivre-Laplace : la loi binomiale \( \mathcal{B}(n,p)\) tend vers la loi normale de même espérance et écart-type

Explication de ce théorème : sachant qu'un phénomène suit la loi binômiale, déterminer son espérance et son écart-type. On peut alors affirmer qu'il tend vers la la loi normale de même espérance et écart-type.

Comment utiliser ensuite la loi normale :

la probabilité entre -σ et +σ est 0.68 environ
la probabilité entre -2σ et +2σ est 0.95 environ
la probabilité entre -3σ et +3σ est 0.997 environ

gaussienne

Estimation

Définition d'un intervalle de fluctuation au seuil de 95% : l'intervalle a 95% de chance de contenir la fréquence d'un événement donné.

\( [p-\frac{1}{\sqrt{n}},p+\frac{1}{\sqrt{n}}]\) est un intervalle de fluctuation à 95% si \(n>25\) et \(0.2<p<0.8\)

Intervalle de fluctuation asymptotique (série S) : se définit pour une loi binomiale quand n tend vers infini.

intervalle de confiance : se définit lorsqu'on prend un échantillon d'une population dont une caractéristique présente la fréquence f.

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de B sachant A est \( p_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)