Nombres Complexes

  • Un nombre complexe est de la forme \( z=a+ib \) (avec a et b réels) avec \( i^2 = -1 \)
  • Définition : le conjugué est \(\bar{z} = a-ib \)

Astuce pour mémoriser : le conjugué s'obtient en changeant le signe de la partie imaginaire.

  • Définition : le module est \(|z|= \sqrt{a^2+b^2} \)
  • Il vérifie : \(z\bar{z} = |z|^2\)

Astuce pour mémoriser : le carré du module est la somme des carrés des parties réelles et imaginaires.

  • Définition : La forme trigonométrique est : \( z = |z| (\cos\theta+ i \sin \theta) = |z| e^{ i\theta}\) (\(\theta\) est un argument de z)
  •  \(\theta\) se calcule par 

    \( \cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

 

Géométrie dans l'espace

  • Dans l'espace, un plan est défini par : 3 points, ou : un point et deux vecteurs
  • Dans l'espace, une droite est définie par 2 points ou : un point et un vecteur
  • une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à 2 droites sécantes de ce plan.

Vecteur normal à un plan :

  • Pour un Plan défini par ax+by+cz +d = 0 : \(\vec{v} = (a,b,c) \) est un vecteur normal
  • Si les vecteurs normaux sont colinéaires, les plans sont parallèles.
  • Si les vecteurs normaux sont orthogonaux, les plans sont perpendiculaires

Produit Scalaire

Définition

si \(\vec{u} = (x_0,y_0,z_0)\) et

\( \vec{v} = (x_1,y_1,z_1) \) alors

$$ \vec{u}.\vec{v} = x_0x_1+y_0y_1+z_0z_1 = ||u||.||v|| cos(\vec{u},\vec{v}) $$

Utilisation : si le produit scalaire est nul, les deux vecteurs sont orthogonaux.