Suites arithmétiques

 \( u_{n+1}=u_{n}+r \)


On peut en déduire : \( u_n = u_0 + nr \)
La somme de la suite \(u_k = k\) est  

\( \Sigma_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \)

Suites géométriques

\( u _{n+1}=q u _n \)


On peut en déduire : \( u _{n}=q^n u_0 \)
Si q> 1 et u0 >0, la suite a pour limite  \( +\infty\)
Si 0<q<1, la suite a pour limite 0.
La somme de la suite \( u_n\) est 

\( \Sigma_{k=1}^n u_k = u_0\frac{1-q^n}{1-q}\)

si  \(q \neq 1\)

Limite finie

Définition : \( u_n\) tend vers \( l \) quand n tend vers \( +\infty\) ,
si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs \( u_n\) à partir d’un certain rang
En pratique :
Considérer un réel positif \( \lambda\) et trouver un rang n0 tel que si n> n0
\( l-\lambda<u_n<l+\lambda \)

Exemple

Démontrons que la suite \( u_n = \frac{1}{n}\) a pour limite 0
\( u_n\) est toujours positif donc \( u_n> -\lambda\)
Par ailleurs, si je prends \(n > \frac{1}{\lambda}\) alors \( u_n< \lambda\)


Limite infinie

Définition :
un tend vers  \( +\infty\) quand n tend vers  \( +\infty\), si tout intervalle de la forme \( ] A,+\infty[ \)  contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.
En pratique :
Considérer un réel A et trouver un rang n0 tel que si n> n0, un > A

Exemple


un = (1+a)n avec a>0 a pour limite  \( +\infty\)
En effet on remarque que un > 1+ na
Alors pour tout A > 1 : si n > (A-1) / a alors un > 1+ (A-1) = A


Théorème de convergence montone

Une suite croissante majorée est convergente

Théorème des gendarmes

Si un<vn<wn pour n> n0
et
\( \lim_{+\infty} u_n =l\)
et
\(\lim_{+\infty} w_n = l\)
alors
\(\lim_{+\infty} v_n = l\)

Étude de Fonctions

  • La Base : faire un tableau de variation et l'utiliser pour résoudre des problèmes simples

Racines d'un polynôme du second degré

  • Commencer par écrire \( ax^2 + bx +c \) sous la forme \( a(x-\frac{b}{2a})^2 + .. \)
  • Le mieux est de connaître par cœur les racines du polynôme :$$ -b \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{2a}}$$ si \(b^2 -4ac\) est positif
  • Signe du trinôme : c'est le signe de \( a \) "à l'extérieur des racines", le signe opposé "entre les racines".

Intégrales

Définition : l'intégrale de \( f \) entre a et b s'écrit : \( \int _a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \) où F est une primitive de f

Pour les exercices, savoir reconnaître les fonctions suivantes :

  • Si on reconnaît : \(u' e^u\) la primitive est \(e^u\)
  • Si on reconnaît : \(u'u^n \) la primitive est \( \frac{u^{n+1} }{n+1} \)
  • Si on reconnaît : \( \frac{u'}{u^2} \) la primitive est \( \frac{-1}{u} \)


Relation de Chasles :

A connaître : \( \int _a^b f(x)dx + \int _b^c f(x)dx = \int _a^c f(x)dx \)

Dérivées

Savoir que la dérivée donne le sens croissant ou décroissant de la fonction (1re S)

Connaître les dérivées usuelles :

  • la dérivée de \(x^n \) est \( nx^{n-1}\) (Classe de 1re)
    Astuce de mémorisation : la dérivée d'un polynôme est le polynôme de degré inférieur d'une unité multiplié par le degré initial.

 

  • la dérivée d'un produit uv est u'v+uv'
  • \(\sin' x = \cos x ; \cos' x = - \sin x ; \ln' x = 1/x ; \exp' = \exp \)

 

Autres Dérivées

  • la dérivée de \( \frac{1}{x}\) est \(-\frac{1}{x^2} \)
  • dérivée de \( e^u(x) : u' e^u(x) \)
  • dérivée de \( u(x)^n : u' n u(x)^{n-1} \)
  • dérivée de \(f(ax+b) : a f'(ax+b) \)

Exponentielle, Logarithmes

Exponentielle :

  • Connaître la variation de l'exponentielle :
    \( \exp(0) =1\)
    \( lim _{-\infty} \exp(x) = 0 \)
    \( \lim _{+\infty} exp(x) = +\infty \)
  • Relation : \( \exp(a+b) = \exp(a)\exp(b) \)
    Astuce pour mémoriser la formule : l'exponentielle transforme une addition en produit.
  • Savoir manier les deux notations : \( \exp(x) \) ou \(e^x \)

 

\(\ln\) est la fonction réciproque de \(\exp\) (définie pour \(x>0\))

  • Connaître la variation :
    \( \lim _{x\rightarrow 0} \ln x = -\infty \)
    \(\ln(1) = 0\)
    \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln x = +\infty\)
  • Relation : \( \ln(ab) = \ln(a)+\ln(b) \)

Compléments sur Exponentielle-Logarithme

\( \lim\limits_{+\infty}\frac{e^x}{x} = +\infty \)

Pour mémoriser : retenir que "exp" l'emporte toujours :


\( \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x e^x = 0 \)

Compléments sur Logarithme


\( \lim\limits_{+\infty}\frac{\ln x }{x} = 0 \)

Pour mémoriser : retenir que x l'emporte toujours sur ln

.

Fonctions Trigonométriques

  • cos et sin sont périodiques de période \(2\pi\), cos est paire
  • sin est impaire
  • Variation : \(\cos 0 = 1\) (décroissance) \(\cos \frac{\pi}{2} = 0 \)
  • Valeurs remarquables à connaître: :
\(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)

Pour mémoriser ces valeurs facilement :

  • couper l'intervalle \( [0,\frac{\pi}{2}] \) en 2 et en 3 (on obtient \( \frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{6} ,\frac{\pi}{4}\)).
  • Couper l'intervalle \([0,1]\) en 4 : on obtient \( \frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4} \) .
  • Prendre la racine carrée du nombre trouvé.

Limites - Continuité

  • Avoir simplement une notion intuitive de la limite : si x se rapproche de x0, f(x) se rapproche de l
  • Connaître les limites d'une somme, un produit, un quotient, de la composition
  • Savoir déterminer une limite par majoration ou encadrement (par exemple en encadrant par deux fonctions connues, comme des polynômes, ou des combinaisons de racines, inverses, polynômes, etc).
  • Savoir utiliser la continuité pour démontrer qu'une fonction passe par une valeur située entre deux valeurs prises par la fonction ("théorème des valeurs intermédiaires")

Compléments sur les limites


-limite d'une somme : les infinis l'emportent (+∞-∞ est indéterminé)


-limite d'un produit : l'infini et le zéro l'emportent (+∞ x 0 est indéterminé)


-limite d'un quotient : l'infini et le zéro l'emporte (∞/∞ est indéterminé)


-limite d'une composée : si f a pour limite b en a et si g a pour limite c en b alors g(f(x)) a pour limite c en a.


-majoration : si f>g et g a pour limite +∞ en +∞, f a également pour limite +∞ en +∞


-encadrement (gendarmes) : si g < f < h pour x>A, si g et h ont une même limite en +∞, f a également cette limite.


-continuité : une fonction est continue en x0 si f(x) tend vers f(x0) quand x tend x0


-toute fonction dérivable est continue


-Théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue f sur un intervalle [a,b].

f(a) = Ya et f(b) = Yb alors pour Y0 entre Ya et Yb, il existe x0 tel que f(x0)=Y0

Asymptote : Retenez que si on vous demande de démontrer que la courbe présente une asymptote verticale, il s'agit simplement de montrer que la fonction associée à la courbe a une limite infinie à une valeur donnée. De même pour une asymptote horizontale, il s'agit simplement de montrer que la fonction associée a une limite finie en +∞ ou -∞.