Suites arithmétiques

\( u_{n+1}= u_n +r \)


On peut en déduire : \( u_n = u_0 + nr \)
La somme de la suite \(u_k = k\) est \[ \Sigma_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \]

Suites géométriques

\( u _{n+1}=q u _n \)


On peut en déduire : \( u _{n}=q^n u_0 \)
Si q> 1 et u0 >0, la suite a pour limite \( +\infty\)
Si 0<q<1, la suite a pour limite 0.
La somme de la suite \( u_n\) est \[ \Sigma_{k=1}^n u_k = u_0\frac{1-q^n}{1-q} \] si \(q \neq 1\)

Limite finie

Définition : \( u_n\) tend vers \( l \) quand n tend vers \( +\infty\) ,
si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs \( u_n\) à partir d’un certain rang
En pratique :
Considérer un réel positif \( \lambda\) et trouver un rang n0 tel que si n> n0
\( l-\lambda < u_n < l+\lambda \)


Limite infinie

Définition :
un tend vers \( +\infty\) quand n tend vers \( +\infty\), si tout intervalle de la forme \( ] A, +\infty[ \) contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.
En pratique :
Considérer un réel A et trouver un rang n0 tel que si n> n0, un > A


Théorème de convergence montone

Une suite croissante majorée est convergente

Théorème des gendarmes

Si un<vn<wn pour n> n0
et
\( \lim_{+\infty} u_n =l\)
et
\(\lim_{+\infty} w_n = l\)
alors
\(\lim_{+\infty} v_n = l\)