Cette page contient les bases du programme sur les lois de probabilité

Lois discrètes (1re)

  • l'espérance est la moyenne : E(x) = S Pixi
  • la variance est la moyenne quadratique par rapport à la moyenne : V(x) = S pi(xi-E)2
  • l'écart-type est la racine de la variance
  • Epreuve de Bernoulli : expérience avec deux possibilités (proba p et 1-p)
  • Loi Binômiale : répétition de n épreuves de Bernoulli : \( P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^k \) \( E(X) = np \) \( V(x) = np(1-p) \)

Loi à densité

f est une densité de probabilité si elle est positive et si son intégrale vaut 1.

loi uniforme (sur [a,b] sa densité de proba vaut 1/(b-a))

loi exponentielle (série S) : densité f(s) = λ e-λ s. Son espérance est 1/λ

loi normale centrée réduite : \( f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}} \) (espérance 0, écart-type 1)

loi normale : X suit la loi N(μ,σ2) si \( \frac{X-\mu}{σ} \) suit la loi normale centrée réduite

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Estimation

Intervalle de fluctuation au seuil de 95% : l'intervalle a 95% de chance de contenir la fréquence d'un événement donné. \( [p-\frac{1}{\sqrt{n}},p+\frac{1}{\sqrt{n}}] \) est un intervalle de fluctuation à 95% si n>25 et 0.2<p<0.8

Intervalle de fluctuation asymptotique (série S) : se définit pour une loi binômiale quand n tend vers infini.

intervalle de confiance : se définit lorsqu'on prend un échantillon d'une population dont une caractéristique présente la fréquence f.